阿狗工具

准确度这一章，是我看的最容易理解的章节。这一节，讲的是模拟计算机有限的准确度，以及数字计算机可扩展的准确度的特性。

模拟计算机，由于通过机械等控制，其准确度跟制作工艺等是强相关的。这就导致了要想达到1:1000没问题，但是想要达到1:10000，或者1:100000，就有难度了，更高的准确度就更夸张了（所以喽，外星文明想在飞船上加一道刻度，就等于带走了大英百科全书，这个只能是一个美好的科学幻想了，实际不可实施）。

那么数字计算机呢？数字计算机的准确度，和我们处理数的位数强相关。比如我们能够处理的数的位数是12位，那么就能达到1:(10^12)这样的准确度（冯诺依曼是以十进制的计算机来做说明的，但道理是相通的）。如果想要增加准确度，只用考虑将12位系统增加到13位系统，就在准确度上提升了一个数量级，成为了1:(10^13)。这个开销相比模拟计算机来说要小的多，可实施，因为提升一位，对于12位系统来说，增加的规模只是1/12，但是你要想在模拟计算机里提升一个准确度数量级，那得要提升多大的制作工艺才能达到。

所以综上，数字计算机能够很方便有效的提升准确度。不过我们也要考虑另一个问题，即准确度是否有那么重要？我们是否真的需要1:(10^5)以上的准确度呢？

科学家想问题，就会想的很全，对于我们来说，可能会觉得准确度改善不是好事吗？但是科学家会多想一步，就是我们有没有必要呢？

如果出现误差，尤其是随机误差，那么经过N步计算，实际带来的误差应是N^0.5的比例关系。从这个来看，似乎误差带来的影响并不算大。但是我们并不仅仅是考虑第一步产生的误差在最终的影响，还要考虑每一步运算都会带来误差（因为你的计算准确度是针对所有步骤的），这就会带来指数级的增长。书中举了一个例子，如果每一步有5%的误差，那么仅仅425步，就能达到10^9的误差（是不是跟棋盘里放麦子的问题是一样的）。

我们自己也可以算一算，如果是1:(10^5)的准确度，经过10000次计算，就能达到10%的误差，而10000次运算，对于我们日常的计算机来说，也就是一刹那的事儿。

因此，从计算机精度上来说，数字计算机的优势是很明显的，而且在日常计算中的必要性也是很明显的。从这点来看，数字计算机是完美胜出了。

冯诺依曼在讲解这些的过程中，还提到了计算深度和逻辑深度。我们要完成一个复杂计算，实际是转换成了若干四则运算等的简单运算。多数的函数运算，也是用类似的方式实现了一个近似的计算实现。这就是它的计算深度。而逻辑深度，则可能会更大，因为基本运算需要拆解成一系列的逻辑步骤，导致逻辑深度会大于计算深度。