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多元函数-行列式，高阶导数，积分的微分法
2024-04-10 06:20:36 阅读数 1130
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行列式是关于方阵的函数，方阵可以对应于算子，所以，行列式就是关于算子的函数。行列式为零代表算子不可逆，奇异，退化。
9.33
首先是定义，这个定义是逆序数，或者说是序列的奇偶性。如果要完全理解这个概念，就需要引入置换群的概念，
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行列式的定义，非常抽象。
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通过列向量分解，可以将行列式简化为n交错函数，就像双线性函数，n线性函数一样，交错是由于特殊的系数。简单而言，就是给定n个向量，获得一个数，就如泛函一般。
9.34
行列式的基本运算性质，
- 单位矩阵行列式为1
- 某一列倍乘，行列式倍乘
- 交换两列，行列式变号
- 两列相等，行列式为零
9.35
乘积的行列式等于行列式的乘积
9.36
行列式不为零，矩阵可逆
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行列式与基无关，所以，相差一个相似矩阵变换，行列式不变。也就是证明了初等变换法求解行列式的有效性。
9.38
函数行列式就是导数矩阵的行列式，朗斯基行列式是初等情形。一般情形是坐标变换矩阵的行列式，或者雅可比行列式。
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反函数定理中的条件，就是函数行列式不为零，保证了坐标变换的非退化性。
9.39
高阶导数不得不引入张量了，不然描述起来非常繁琐，这里没有明显写出分量形式，估计是为了避免涉及张量表示法，那样篇幅就必须加长了。
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二阶连续可微，则求导顺序不影响结果。
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这个定理好像中值定理，不过是二维情形，显得有些复杂。
图示
9.41
二阶连续可微求导顺序不影响结果，相应的定理和推论
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求导和积分换序
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参数索引函数列，二元函数变一元函数列
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看条件
- 方形区域函数有定义
- 递增函数，其实是L-S积分中的区间划分
- 函数列相对于变量x黎曼可积
- 对参数t导数的连续性
求导积分可交换。
到此多元函数一章就完结了。当然，看起来似乎内容有些少，不够全面，不过，基本的跳跃过程都给出了，剩下的是高维推广，不难实现。
通过对Rudin的书的学习，也能发现很多国内书籍的问题，内容铺张，重点隐藏，证明繁琐，来源不一。学完之后，只记得几个公式，几个例题，可是彼此之间似乎毫无关联，测试完后，很快遗忘。
所以，有志于深入了解数学的，还要积极向外国取法，毕竟他们的数学发展了数百年，而我们只有短短数十年。