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关于圆的拓展定理

一、圆的切线

如图，圆O与直线AB只有一个公共点，那么我们就说直线AB与圆O相切。

1.关于切线的相关定理：

切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（经过半径外端+垂直于半径==直线是切线）

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。（直线是切线==垂直于半径+经过半径外端（即切点）

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。（经过圆心+垂直于切线==经过切点）

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。（经过切点+垂直于切线==经过圆心）

继如上图，若切线AB上有一点P，那么线段HP就是点P到圆的切线长（圆的切线上一点与切线间的线段长叫做这一点到圆的切线长）

2.关于切线长的相关定理：

定理1（切线长定理）：从圆外一点作圆的两条切线，切线长相等。

定理2：从圆外一点作圆的两条切线，它们的夹角被这一点与圆心的连线平分。

本质上就是如下图，圆心连接两个切线经过的切点，然后连接圆心与圆外一点的连线。通过切线的性质定理，可得OA⊥AP，OB⊥BP，然后有半径相等和OP公共边，直接用直角三角形HL证全等，然后就可以得到上述定理。本质上即两个三角形全等。

二、与圆有关的角

1.圆周角

顶点在圆周上且两边与圆相交的角叫做圆周角。

关于圆周角的相关定理：

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。（同弧或等弧⇔圆周角相等，这两个是互逆定理）

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。（直径⇔圆周角为90°，这两个也是互逆定理）

下图是圆周角相关的常用定理图示。

2.弦切角

顶点在圆上，一条边与圆相交而另一条边与圆相切的角叫做弦切角。弦切角内部的弧即这个弦切角所夹的弧。

关于弦切角的相关定理：

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

联系上文，我们就可以得到圆心角，圆周角，弦切角的简要三角关系：圆周角=弦切角=½圆心角，如下图所示。

三、与圆有关的比例线段

1.相交弦定理：圆的两条相交弦中，每条弦被交点分成的两条线段的乘积相等。如下图所示，表达式为AP*PD=CP*PB。

2.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两条线段相等。如下图所示，表达式为PB*PA=PD*PC。

3.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的比例中项。如下图所示，PB*PA=PC²。

以上三条关于比例线段的定理主要涉及三角形相似以及圆相关角定理等，证明过程就不再阐述了。

四、四点共圆

平面上的四点在同一圆上，我们把这四点的关系称为四点共圆。四点共圆在数学中也有广泛的应用。

关于四点共圆的相关定理：

【圆的内接四边形性质逆定理】

1.对角互补的四边形内接于圆。

2.如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形内接于圆。

简要内容如下图所示。

以上两条是沪教版数学拓展II出现的内容，但四点共圆的判定定理远不止这些。

【圆周角性质推论】

3.若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两个端点四点共圆。

简要内容如下图所示。

【圆幂定理的逆定理】

相交弦定理、割线定理和切割线定理统称为圆幂定理。圆幂定理中，只有相交弦定理与割线定理的逆定理可证四点共圆。

4.如果两条弦中每条弦被交点分成的两条线段的乘积相等，那么这两条弦的四个端点四点共圆。

5.如果四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，那么四点共圆。

简要内容如下图所示。

【其他】

6.托勒密逆定理

我们都知道，托勒密定理是这样描述的：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

那么逆定理便是：若凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么四边形内接于圆。

这里我就不自己证明了，我找了一张知乎的图，大家简要看一下吧。

还有一些比较奇奇怪怪的定理。

7.如果有一点，与其他四点的连线段都相等，那么其他四点共圆。

这就是从圆的定义出发了，非常的简单。

还有一个西姆森定理可以证四点共圆的就不说了，这个比较少用。

所以我们总结了以上大概7个可以证明四点共圆的定理。

四点共圆的性质，便是上面判定定理的逆命题。还有便是，如果你构造出一个圆，那么你就可以使用关于圆的任何定理，去求证题目要求的内容。这就是我们常说的数学中的隐圆问题了，如果有时间可能会再整理一个关于隐圆问题的常见解法。

由于时间原因就先写到这里了。如有错误请在下面补充。